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第二章 数学的性质
  数学依靠的是两样东西:逻辑与创造。而人们对数学的追求则有两个目的:各种实用的目的以及数学的内在趣味。对于一些人,这里不仅仅指职业数学家,数学的精髓在于它的美妙和它对于智力的挑战。对于另一些人,包括许多科学家和工程师,数学的首要价值是它如何能够被应用于他们的工作之中。因为数学在现代文化中扮演着中心的角色,所以对数学性质的基本了解成为科学素养的需要。要做到这一点,学生需要将数学视为科学活动的一部分,了解数学思维的本质,并熟悉重要的数学概念和技巧。

  本章重点突出作为科学探索之一部分的数学,然后是作为一个过程或一种思维的数学。涉及数学概念的建议将在第九章“数学世界”中给出,有关数学技巧的建议则包括在第十二章“思维习惯”中。

  ■ 建 议

规律与关系

  数学是研究规律和关系的科学。作为一门理论学科,数学探索抽象概念之间的关系,并不考虑这些抽象在现实世界是否存在对应的事物。这些抽象概念可以是从一串数列到几何图形,到方程式的任何事物。譬如:“能否形成质数之间的区间规律?”作为一个理论问题,数学家只关心找出这种规律,或者证明其不存在;而不管它是否有用。又如,在正多面体的体积近于零时,数学家推导其表面积的改变的表达式时,并不考虑几何学中正多面体与现实世界中的物体是否一致。

  理论数学研究的中心是在每个学科领域中确定少量的基本概念和规则,从这些概念和规则中能通过逻辑演绎得出该学科领域的其他一切有意义的概念和规则。和其他科学家一样,数学家对发现先前不相关的数学分支间的联系,或从某些更综合的理论中推导出它们之间的关系特别感兴趣。许多人认为数学的奥妙不在于发现它的完美和复杂,相反在于找到最经济和简单的表述和论证。随着数学的不断进步,人们发现了各自发展的数学分支间越来越多的联系,例如代数的符号表达方式和几何空间表达方式之间的关系。这些相互交叉的联系使人们能洞察各个分支学科的发展,同时也能加强对整体结构的正确性和同一性的理解。

  数学也是一门应用科学,许多数学家将注意力放在解决现实世界中发生的问题上。他们探讨数学的规律和关系。在研究中,数学家使用的技巧和研究理论数学采用的技巧类似。其区别主要在于目的不同。应用数学家与理论数学家相反,注重实用性。他们在研究上面提到的质数规律时,可能研究质数的区间规律,从而开发出一个新的数字信息编码系统。他们解决面积和体积关系问题时,把它作为研究晶体特性模型的一个步骤。

  理论数学和应用数学的研究结果常常互相影响。理论数学的发现常常(有的在几十年以后)产生无法估计的价值。例如,对随机事件的数学性质研究,后来导致人们用它改进社会科学和自然科学的实验设计。相反,为了解决公平地收取长途电话费问题,数学家发明了复杂网络数学。理论数学与其他科学不同,它不受现实世界的限制。但是,从长远观点来看,它的贡献在于能使人们更好地理解这个世界。

数学、科学和技术

  从某种意义上来说,数学的抽象性使它具有其他人类思维活动所不具有的通用性。数学可以在商业、工业、音乐、历史、政治、运动、医学、农业、工程以及社会科学和自然科学中应用。数学同其他基础科学和应用科学的关系极其紧密。这是出于多种原因,包括以下几个方面:
  ■ 科学和数学结盟具有悠久的历史,可以追溯到许多世纪以前。科学为数学提出了值得研究的有趣问题,数学为科学提供了有力的用于分析数据的工具。数学家出于自身爱好研究出来的抽象范式,日后科学就会发挥出很大作用。科学和数学都试图找出事物的一般规律和关系,从这一意义来说,它们都是科学事业的一部分。
  ■ 数学是科学的主要术语。在准确表达科学概念时,数学符号具有极高的价值。例如:a=F/m,这不只是将物体的加速度等于作用于物体的力除以物体的质量这一概念简化成公式,而且也是对这些变量关系的准确表述。更重要的是,数学提供了科学的法则——即严格地分析科学概念和数据的原则。
  ■ 数学和科学具有许多共性。包括都具有对可以理解的规则的信念;想象力和严格逻辑的相互影响;诚实与公开的思想;同行评论的极端重要性;第一个取得重大发现的价值;国际范围和随着大功率电子计算机的发展,运用电子计算机技术,开辟新的研究领域。
  ■ 数学和技术的互动富有成效。例如,数学中的因果关系和逻辑推理对设计计算机硬件和编程技术做出了重大贡献。数学对工程学也做出了更广泛的贡献。用数学描述一个复杂系统的特性时可以用计算机模拟它。在模拟时,还可以修改设计特点和操作条件,以便找出最佳设计方案。计算机技术则开辟了一系列全新的数学领域,甚至在验证的性质上也是如此。它将继续帮助解决曾经令人却步的问题。

数学探索

  运用数学表达概念或解决问题,至少包括三个步骤:(1)抽象地表现事物的某些方面;(2)运用逻辑原理进行抽象思维,发现新的关系;(3)注意新的关系对原有问题是否有用。

  抽象和符号表述
  数学思维常常由抽象开始,这就是说,注意两个或者两个以上事物的共性。不论是现实的,还是假设的,事物的共性都可以用符号表示,如数字、字母、标记、图表、几何制图以及文字。所有数字都是抽象的产物,它们代表一组物体或事件的规模,或者代表一组事物的顺序。圆形就是从人的脸、花朵、车轮或者扩散的波纹引申出来的一个抽象概念。字母A可能是从任何形状物体的表面积、所有做加速运动的物体或者从所有具有某些特性的物体抽象而成。符号“+”代表加法过程,不论是加苹果、加橘子、加小时或者加英里/小时,都可以用这个符号表示,不仅可以对具体物体或过程进行抽象,也可以对抽象本身再抽象,如数字的种类(如偶数)。

  这种抽象使数学家能把注意力集中在事物的某些特性上,并且根据需要进行替换,而不需要继续记住事物的其他特性。就数学而言,一个三角形是代表船帆的面积,还是代表两条视线汇合的视域,这并不重要。数学家可以借助两者中任何一种概念,用同样的方法进行工作。进行抽象分析时,只要注意不要忽略对研究结果有重要作用的特征,研究将变得简便而有效。

  运用数学表达式
  在进行抽象分析和选用符号表述方式后,符号可以按照严格的定义进行各种组合运算。有时,这种组合运算有着确定的目标,有时则根据实验要求和范围条件进行各种组合尝试,了解可能发生的事情。有时,一个恰当的运算处理可以利用直觉从构成运算的字词和符号中轻而易举地得到验证,有时则要通过反复试验进行一系列有价值的运算处理。

  人们常用一串符号组成表述式来表达某些概念或定理。例如:用符号“A”代表任何正方形的面积,符号“S”代表边长,则构成方程式A=S2。这个方程式具体说明了面积与边长的关系,它也说明除了边长以外,正方形面积与其他因素无关。根据普通代数原理还可以得知,如果正方形的边长增加1倍,正方形的面积就会增加4倍。更全面地讲,运用这个公式,不论边长怎样变化,都能求出面积的大小。反过来说,也能知道面积的变化对边长的影响。

  将数学发现形成抽象关系的作法已经延续了几千年,现在还在扩展,有些被修改。尽管数学起源于计算和测量的具体经验,并经过了多层次的抽象。发展到今天,它依靠内部逻辑运算甚于机械论证。从这个角度来看,数学抽象运算处理倒像一场游戏,起初,建立一些基本规则,然后做些适合规则的变动,其中也包括创立一些新的规则或者找出旧规则间的新关系。对新概念正确性的检验在于它们是否一致和它们同其他规则是否具有逻辑关系。

  应用
  人们可以增加对事物的洞察力。通过抽象表达方式获得的数学关系,有时能正确地表达事物的本来面貌,有时则不能。例如,2杯水加上3杯水,通过数学抽象运算:2+3=5,获得正确的答案是5杯水。然而,2杯糖加上3杯热茶,如果采用同样的抽象运算方法,答案也是5,但是,这个答案却是错误的。因为,将这两种物质混合后,实际结果只是获得4杯多一点很甜的茶。这种简单的数量相加只适用于第一种场合,不适用于第二种场合。只有知道两种场合在物质上的差别才能判断其结果。因此,为了能够很好地运用和阐明数学,还需要关注抽象运算在数字有效性以外的知识。并且,还要考虑怎样才能很好地反映事物的特性。

  有时,常识就足以使人确定数学结果是否恰当,例如,有一个姑娘现年身高5英尺 5英寸 ,如果每年长高一英寸,问20年以后这个姑娘有多高?按计算法则应该是,生长率乘以时间,加上现年的身高得7英尺1英寸。常识告诉我们这个7英尺1英寸身高的答案是很不可能的。所以这个问题应该用其他数学模式求解,例如,可以利用有极限的曲线解答。然而,有时或许很难预料数学结果是否恰当,例如在预测股票市场的价格和地震时便是如此。

  进行一轮数学推理往往得不到令人满意的答案,在表述结果或进行计算时要尝试各种变化。事实上,计算的各步骤都会有退、进的跳跃,数学并不存在“应该如何运算”这样的硬性规定。典型的数学运算过程,总要一阵一阵地走许多弯路,甚至进入死胡同。然而,可以继续进行运算,直到取得令人满意的结果为止。

  但是,计算结果应该准确到什么程度?这个问题的答案取决于如何使用其结果,取决于误差的后果,取决于设计和实现一个更准确答案所需的可能的费用。例如,在计算糕点配方时,用糖量误差1%是无关紧要的,然而,在计算空间探测器的轨道时,如果出现1%的误差,就会造成大灾难。准确度问题的重要性导致了数学计算过程的发展,既要估计计算结果的偏差度,也要考虑进行多少次计算才能达到所希望的准确度。

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