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第二章 数学的性质

1.规律与关系
2.数学、科学与技术
3.数学探索

  数学依靠的是两样东西:逻辑与创造。而人们对数学的追求则有两个目的:各种实用的目的以及数学的内在趣味。对于一些人,这里不仅仅指职业数学家,数学的精髓在于它的美妙和它对于智力的挑战。对于另一些人,包括许多科学家和工程师,数学的首要价值是它如何能够被应用于他们的工作之中。因为数学在现代文化中扮演着中心的角色,所以对数学性质的基本了解成为科学素养的需要。要做到这一点,学生需要将数学视为科学活动的一部分,了解数学思维的本质,并熟悉重要的数学概念和技巧。

  本章重点突出作为科学探索之一部分的数学,然后是作为一个过程或一种思维的数学。涉及数学概念的建议将在第九章“数学世界”中给出,有关数学技巧的建议则包括在第十二章“思维习惯”中。

    《面向全体美国人的科学》

  人类努力开拓的复杂领域,没有一个是能简单地用几句话或几段文字来定义的。科学、艺术和技术不能,数学也不能。但是,通过从各方面来考察这些领域,或者像局内人那样开展一些工作,局外人也会对它们的性质逐渐形成丰富的感觉。学习一门学科,并进行实践,这两种经历能使人们掌握一些成年后可广为应用的技巧,并提高人们的理解力。

  作为研究模式和关系的科学,数学具有我们在第一章“科学的性质”中已描述过的其他科学的许多特性。数学和其他科学在以下几方面是特别相似的,即:相信学科的内在规律,在报告研究成果时讲求诚实和公开,同行的批评对评定新研究成果具有重要性,想象力对学科发展具有重要作用。如同科学与技术一样,数学将解答基础问题和解决实际问题有机地结合起来。

  在“2061计划”中,数学的地位体现了数学这门学科的丰富多彩、无所不在。《面向全体美国人的科学》和《科学素养的基准》两书都将数学作为这一计划的明显部分。在这两本书中,第二章简要地说明了学生应该知道的数学在整个科学进取中的独特之处;第九章对学生应该掌握哪些数学概念提出了建议;第十一章讲述了一些关键的数学概念,例如比例和模型,以及这些概念作为分析工具的广泛应用;第十二章罗列了学生需要掌握的数学技能,再结合科学和技术的技能,可有效地处理日常生活中的实事。当然,课程设置不应将认知与实践截然分开。

  确实,在“2061计划”中关于数学的其他部分,将在设计教学大纲时体现出来。即将出版的《科学素养的设计》将对此进行详细论述。在“206l计划”的课程设置中,几乎所有的部分都包含了数学。学生们在每个年级都会学到数学,并且将在许多不同的科目中和现实世界里学习数学(有些会明显地标明为数学,有些则不会)。

  1.规律与关系

  我们的世界由星系、高山、生物、车辆和各种各样的物体组成,每种物体似乎都很独特。而且这些物体之间以各种方式相互干扰,有时很剧烈,有时也极其细微,使整个世界显得混乱无序。应该感谢数学,它使人们能够思考这个物质的世界和这个世界中所发生的一切,并且使人们可以利用统一和有序的方法进行思想交流。

  数字、线、角、形状、维数、平均、概率、比率、运算、圆周、关联……由这些构成的数学世界有助于人们理解这个现实的宇宙,否则,这个宇宙似乎复杂得令人绝望。几个世纪以来,人们一直在创立和精炼数学的规律和关系。如今,这个进程同历史上任何时期一样生机勃勃和富有成效。也许,这是因为当今的数学被应用的领域比以往更多,并且在日常生活中变得更为重要。

  出于培养一般科学素养的目的,对于学生来说,最重要的是:
  (1) 要理解数学是对规律和关系的研究;
  (2) 要熟悉一些规律和关系;
  (3) 要学会在日常生活中使用它们。

  后两个目标是平行的,无须按照先后排序。事实证明,就绝大部分学生而言,先学习抽象的数学内容,然后学习它的应用,这样做的效果不好。在安排教学大纲时应使学生在进入数学本身的学习之前、之中以及之后,都能在许多不同的事例中遇到所学的数学规律或关系。

  此后,为了达到理解数学的性质这个目标,应该不时地为学生提供机会,使他们能以纯抽象的方式思考数学的规律和关系的性质。可以把一段时间内在个人或班级笔记本中收集到的关于数学的规律和关系例子作为原始材料,用来说明数学怎样定义某一个模式或关系,这比单个例子更加充实、更具有说服力。

  常常是由于教学方面的和严格的概念方面的原因,传统上人们将数学家们创立和使用的单个概念归类为一些科目,如算术、几何、代数、三角函数、统计和微积分。在这些科目内部和各科目之间,数学家试图找到能把不同的概念(它们本身也是数学规律和关系)联系起来的数学规律和关系。数学中为数不多的令人满意的成果是:证明以前认为是截然分开的两
部分内容其实是某一个更加抽象的表述的两个平行而不同的事例。应尽量创造条件,使所有的学生都能亲自发现:一个概念可以用不同的或类似的方法来表述。

  关于人们如何学习的研究告诉我们,强调同一概念可用多种形式表达以及一个概念可解释另一个概念这种方法对学生是有益的。当学生开始用表格、图像、符号和文字表达某一种关系时,人们有理由相信,这个学生已经真正掌握了这种关系的含义。这项研究还认为,学生们学习这些表达和解释的方法是:在作业中了解它们和实践它们,在作业中学生们关心的是答案是什么。通过参加这种活动,学生会渐渐地建立起关于数学的相关性的概念,偶尔他们可能需要不时地回过头翻阅他们的作业,来确认以前学过的许多数学概念间的联系。

幼儿园至二年级

  在低年级,孩子们通常用特有的、具体的方法进行思维。他们对数学、科学和技术这种大科目几乎不感兴趣。但是,他们通常对学习数字、摆弄数字、辨认形状和简单的图案、搜集和描绘物件、搭建这些物件作出积极的反应。当然,在某些情况下,他们需要明白哪些概念或活动归属于数学知识,哪些是科学知识,哪些是技术知识。但是这些归类不如让孩子们去做更重要。从一开始要让孩子们学习数字和形状,对它们进行简单的运算,并且尽可能多地以不同的内容做这些练习。

到二年级结束,学生们应该知道:
  ■ 在天然的和人造的物体中,能够找到圆形、正方形、三角形和其他形状。
  ■ 把不同的形状放在一起或把它们拆开可以做成各种图形。
  ■ 物体可沿直线、曲线、圆周,或往返型、锯齿形格线运动;物体通过外力也可做出上述运动。
  ■ 可以用数字来表示一堆物品的数量。

三年级至五年级

  学习数学的性质的基本教学策略之一是对在各种课程内容中已学到的东西进行思考,一个可用的方法是在教室里挂上一张“我们在数学中学了什么”的表格,然后逐月把新学的内容填上。要不时地将些表格中的项目分组,标明有些项目是其他项目的分支,或显示某些项目跟其他表格中的项目有相似之处,如“我们在科学中学了什么”、“我们在语言学中学了什么”。如果不强调课程的差异,也可以用“我们用过的数字”、“我们用过(或做过)的物体形状”、“我们做过的观察”等等做表格。

  例如,数学表格中可首先包括计算、测量、估计、观察物体的形状,接着可扩展到加、减等等。兹后,学生可把加、减等归类为数字运算;把制作图表、铺展开数据和比较两组数据归类为数据分析。在数学和科学的表格中都应含有“测量”这个项目以及关于数据的若干项目,还要把他们的关系显示出来。诸如寻找模型、描述关系和给出原因等项目,应放在语言的表格以及其他的表格中。用这种方法,学生们可以建立起自己的数学知识的详细目录,并且列出他们学习知识的历程,新来的学生就会知道他们应该掌握的概念(和语言)是什么。

到五年级结束,学生们应该知道:
  ■ 数学是研究多种模式的学科,其中包括数字、形状及对它们的运作。研究这些模式有时是为了解释世界是怎样运行的和解决实际问题,有时是因为它们本身就是件很有趣的事。
  ■ 数学概念可以用具体的形象、图表或符号来表述。

六年级至八年级

  低年级的学生们能在数学课上学到数学模式和关系式的知识,在其他课的学习中,也能学到与数学关联的知识。到此时,他们已经积累了大量的经验,能够制作数据表格、图像、几何草图,并用这些东西和符号以及明确的语言一起来描述各种数学模式和关系。因此,现在学生能够比以往更强烈地把精力集中在创造性地解决数学问题上,并且对数学家是如何进行工作的开始有点认识。

  学生们从思考用数学做什么开始。各个学习小组应该独立地提出解题方案,然后,对不同的方案进行比较,讨论差异并为之辩解。应该鼓励组成小组提出各自的运算方法,使他们意识到解题方法不止一种。各小组可能会“对哪种方法为最好”产生激烈的分歧,这样他们就会对历史上关于数学抽象的争论的激烈程度有所感受。对不同数据组的研究将使各学习小组发现数据中有不同的、可能甚至是矛盾的相互关系。还可以让学生们开始自己来命题,并与其他学生感兴趣的问题比较有什么不同。

  对于许多学生来说,“最优雅的”数学可能就是最复杂的数学。需要不断地使学生牢固建立这样一个观念,即:用最简单的方法表述概念及概念的联系,才是最有价值的事情。但是,一种简单的数学关系很可能是经历了长期的、凌乱的研究过程才被发现,这种过程也许要反复从问题的一个方面到另一个方面进行论证,有时,还会钻入死胡同。

到八年级结束,学生们应该知道:
  ■ 通常解答一个数学问题的方法不是惟一的,不同的方法有各自的优点和缺点。
  ■ 在数学的不同成分间能找到逻辑关系。

九年级至十二年级

  除了要考虑个人的解题经验外,关于数学是怎样发展起来的典型事例教学,可以使学生从中了解数学工作的一些主要特性,并了解从数学研究中获得的各种数学模型和关系式的特性。偶尔,学生们自己可能会有些数学发现,尽管这种发现可能并不新奇,应该积极地鼓励学生们的这种发现,因为这可能会造就出数学天才。

  现代数学仍在进行着新的模式和关系的开发工作,了解一些现代数学的特点可能是几乎所有学生所面临的挑战。现代理论数学可能是由它被用来解决的各种实际问题而产生的,这些实际问题有:地图上色,优化飞机航线,复原模糊图像等。如果学生们相信与一种实际情况相关的抽象概念也可能会与其他情况相关,那么,数学教学从应用到抽象的转变不会削弱“数学家的兴趣在于理论”这一观念。

到十二年级结束,学生应该知道:
  ■ 数学是对各种规律或关系式的研究,而自然科学仅仅涉及到那些与被观察的事物相关联的模式。尽管在很早以前数学起源于实际问题,但是,它很快就把注意力集中于从物质世界抽象出来的领域,进一步再集中于从那些抽象的概念中形成的更抽象的关系式。
  ■ 如同其他科学领域,数学领域中的最高评价之一就是简单。有些数学家试图找出最小的一组定律,使很多其他定理都可以从这组定律中符合逻辑地推导出来。
  ■ 在数学工作中,理论和应用相互影响。有时,一个实际问题可以导致新的数学理论的发现,而数学自身的发展常常又会指导实际应用。
  ■ 新的数学内容不断地被发明,而数学不同成分之间的关系也不断地被发现。

  2.数学、科学与技术

  有很多人从事数学工作是由于数学的内在魅力,而没有考虑它的用途。然而,大部分数学真是有应用价值的,而且解决应用中的问题又推动了很多数学工作。科学和技术是这种应用和推动的主要方面。科学家和工程师们在从事工作时,可能会自己来做一些数学工作,或要寻求数学家们的帮助。这种帮助可能是采用已经完善的、能解决问题的数学,也可能是开发出新的数学方法来解决问题。一方面,存在着一些为历史悠久的数学找出新用途的显著的例子;另一方面,自然科学和技术的需求常常导致新的数学的形成。

幼儿园至二年级

  在刚入学阶段,学生们从事观察,收集和分类物品,使用工具,并制造物件。就他们的发展水平而言,他们是在从事科学工作和使用技术。通过学校的实践活动,科学和技术帮助学生们理解数学的价值,而数学也帮助他们从事科学技术工作。如果学生们常常应用数学解决问题,那么他们就会明白数学在科学和技术中的用途。

  此阶段无基准要求。

三年级至五年级

  随着学生们升入小学中年级和高年级,数学与科学和技术间的相互作用变得更加频繁、更加复杂。在学生进行调查和设计项目时,画图、制表和按比例制图是常做的事。几何和数学概念,如垂直、周长、体积、平方、开方和负数等,都将使用得更加普遍。那些对学生富有挑战的习题不妨以竞赛或游戏的方式出现。但是,至少有一部分习题应该直接源自正在研究的科学和技术。

  此阶段无基准要求。

六年级至八年级

  科学和技术具有丰富的和特别重要的内容,可以从中学习数学的价值和熟练掌握数学解题的技巧。但是,数学不仅在科学和技术中体现。在艺术、音乐、社会学科、历史、体育、交通规则、家庭经济以及其他在校学习的科目中都可以体会到数学以及它的应用。

到八年级结束,学生们应该知道:
  ■ 数学在人类从事的各种工作中几乎都有用,包括砌墙、开药方和画头像。几千年来,数学对科学和技术的进步作出了特殊的贡献,这种贡献还在不断地继续。


九年级至十二年级

  在这个年龄段,应该向学生们讲授数学是怎样对科学和技术的发展作出贡献的史例,以及一些相反的例子。这样的例子很多,不难找出一些与学生正在学的数学相关联的实例。这时,应特别注意数学模型在科学和技术方面的使用。而且,课程大纲需要给学生们提供一些机会来详细地了解数学与科学和技术的关系。

到十二年级结束,学生们应该知道:
  ■ 数学模型可以用来辅助技术设计,采用的方法是:对所研究系统的理论上的行为进行模拟。
  ■ 数学和科学作为一种事业共有许多价值观和特性:有序的信念.诚实和开放的观念,同事评论的重要性,以及想象力所起的重要作用。
  ■ 数学为科学和技术提供了一种精确的语言,用来描述物体和事件,表示变量之间的关系的特性,以及进行逻辑推理。
  ■ 科学或技术的发展常常会促进数学的创新,以解决新的难题。特别是计算机技术(它本身就依赖数学)的发展,已经产生了很多新的数学问题和数学运算方法。
  ■ 数学的发展常常促进科学技术上的创新。

  3.数学探索

  数学家在研究数学时,他们究竟在做什么呢?大多数人知道一些不同的职业的大致情况,但对细节的了解却不甚准确,这是因为他们只是通过书本、电影或者电视个别地或间接地接触这些职业。人们几乎没有机会去亲眼目睹数学家工作的情景,也没有机会倾听数学家叙述自己的工作情况。对于学生来说,学会如何解答定义严格的数学问题是重要的,但是,这并不能自然地导致学生们对数学探索是如何进行的有一个较广泛的了解。

  数学是具有循环性的探索工作,其目的是开发有用的数学概念。这也是《面向全体美国人的科学》和《科学素养的基准》本章节中所采用的方法(本书第十一章“通用概念”中也涉及到这一内容。在那儿,人们将数学模型与物理模型和概念模型一起考虑)。

  应该记住,数学的发现并不是由于一些严格的推导,而是由于自然科学中的发现。的确,数学研究或迟或早都会包括某些推导或运算过程,但是,次序并不固定,并且重点应该放在哪个过程上,会有很大的变化。数学研究由表述、运算和验证三部分组成一个循环,其中的每一步都应作为学习数学的一个独立环节来认真地学习。当学生们进行自己个人的数学研究时,应该有机会经历运用这个完整循环的过程。获得这种经验的目的,不是为了将学生们造就成职业的数学家,而是要使他们成为熟悉数学探索的成年公民。

  这一循环中的每一部分都会出现一些学习上的困难。许多学生认为,用符号和表达式来表述的东西只能是“实物”。学生理解“用A表示房屋地板的面积”比“让Y等于任一矩形面积”更为容易。首先,必须让学生们相信,用抽象符号代替实际数字很有必要。然后,让他们进一步认识,使用符号代表抽象、抽象的抽象,同样可以成功地解决问题。也许,这就意味着带领学生进入数学世界,使得他们见到数字、形状、运算、符号以及代表符号组的符号,如同见到木块、奶牛、美元一样真实。

  对于运算这一环节,有两个条件对学生来说似乎相互矛盾。一个条件是必须永远严格遵循一组公式,另一个条件是可以对这些公式进行补充。这就是数学的严谨性和灵活性相互结合之处。假设一定数量,赋予它们一些属性,选择一些运算方法,用符号代表每一事物,设定一个问题,然后按照确定的逻辑公式,变换符号的位置,看看会出现什么样的结果。

  但是,这个结果能否令人满意?只能具体情况具体分析——这是学生很难理解的。他们习惯解答那些过程已事先确定、“正确的”答案可以预料的数学题。但是,在现实的数学研究中,一个好的结果是那些能导致新的数学发现的结果,以及在科学、医学、工程、商业或其他领域具有实用价值的成果。因此,“验证”这个环节在数学中可以起判断的作用,而不是依据。当一个结果不太令人满意时,它可能与对于什么是完满的认识、问题是如何形成的以及结果是怎样得到的有很大关系。

幼儿园至二年级
    通常应该选用具体的物体帮助孩子发现和解释符号关系。学生们应该看到,在他们周围的世界里,有许多事物可以用符号和形状来描述。他们应该渐渐地认识到,如同字母和单词构成了阅读和书写的语言一样,数字和形状组成了数学的语言。

到二年级结束,学生们应该知道:
  ■ 能用数字和形状描述事物。

三年级至五年级

  继续使用具体的物体来帮助学生们将真实的物体和事件与抽象的表达联系起来。在学生们头脑中形成的制图和做事能力将通过经常应用于现实世界而得到加强。应该鼓励学生用数学方法,即数字、形状和运算,来描述各种事物。

到五年级结束,学生们应该知道:
  ■ 可借助数字和形状以及它们的运算,来描述和预测我们身边的现实事物。
  ■ 在使用数学时,必须做出“哪种运算可以获得最好结果”的选择。结果总是以它们是否有意义和有用途来判断的。


六年级至八年级

  在描述人们尚不知晓名称的物体时,不论它们是否与数学有关,学生们可以用字母代表它们的临时名称以便进行讨论。渐渐地可以把一个符号代表某一特定的未知事物的概念扩展到它可以表示任意可能未知的事物集合。毫无疑问,学生们在学习数学新知识时,常常还必须从具体的概念开始。

  学生们应该仔细了解某些数学模型在描述和预测现实事件中的局限性(数学模型产生令人失望的结果,是由于现实世界中存在不可预知的变化,或是使用了不恰当的数学模型)。应该鼓励学生陈述自己判断结果是否满意的标准,并鼓励他们根据自己的目的,论述自己所作的判断。

  应该尽量减少习题中的人为编撰的成分。这样就会使习题不是总有明确的答案,使学生可以通过尝试、评估和修改等数学方法来选择和改进习题的答案。应该对于错误(例如错误的乘法)和导致失败的合理选择(可以重新思考)加以区分。

到八年级结束,学生们应该知道:
  ■ 数学家们常常用抽象的概念,如数字或直线来表述事物,然后只用这些概念进行工作。他们所抽象的“事物”可能本身就是概念(例如:关于“全等三角形”和“所有的奇数”的概念)。
  ■ 当数学家们用逻辑的规律来处理事物的抽象代表时,其结果对于事物本身来讲可能有效,也可能无效。使用数学解决一个问题时,要选择用什么数学模式,可能要做一些简化的假设、估计和近似,进行运算,最后查看答案是否有意义。如果答案从预期的目的来看没有什么意义,则表明解题的某个步骤可能不恰当。

九年级至十二年级

  应该使学生们有机会看到,解决同一个数学问题,可能有不只一个同样有效的模式,这样学生们就不会得出这样的结论:解决科学或技术问题总是只有一个最好的数学模型。为了让学生掌握数学的一套推理步骤,应先让学生复习他们以前解过的习题,以便清晰地考虑这些步骤,然后,每当他们遇到新习题时,要求他们再回想这些步骤。可以把某种数学想象成一种按照人为规则来玩的“游戏”,这种游戏是以结果有意义和有广泛应用价值为目标的。至少在有意义的应用范围内,这些游戏的规则不能相互矛盾。

到十二年级结束时,学生们应该知道:
    ■ 某些数学工作如同游戏,数学家们挑选出一组有趣的公式,然后根据这些公式进行运算,得出可能的结果。结果越有意义越好。对这组公式的惟一限制是:它们彼此之间不应有矛盾。
    ■ 数学家们的大部分工作是一个循环模式,由三步组成:(1)用抽象的内容表示事物或概念;(2)依据一些逻辑规则来处理这些抽象的内容;(3)检查结果是否与原来的事物或概念相匹配。如果人们认为匹配得不够好,则可以开始新一轮的抽象和运算处理。实际的思考不一定按照逻辑顺序进行以上步骤,可以按照任何次序,从一步跳到另一步。

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