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第二章 数学的性质

  在数学的传统教授方式中,学生很少把数学本身当作一项不断发展、有创新性而且十分重要的事业来探索,也没有人帮助他们理解数学发展过程中的核心原则。本章节中的图研究了数学探索中的一些一般性规律。下一版《科学素养的导航图》会把《科学素养的基准》中相应章节的其他一些主题绘制成图形,这些主题对于理解理论与应用数学、模式和关系、数学与科学及技术之间关系在内的数学性质尤为重要。

数学探索 第26~29页

  涉及数学研究的广义过程里有一部分可认为是使用数学来制作物体、关系和事件的模型。正因为如此,本节里的两张图建立在相似基础之上,并共用低年级的许多基准——多为表达许多事情的数字和形状。此外,两张图还共用一条高中阶段的基准:

  数学家的大部分工作是一个循环模式,由三步组成:①用抽象的内容表示事物或概念;②依据一些逻辑规则来处理这些抽象的内容;③检查结果是否与原来的事物或概念相匹配。实际的思考不一定按照这一顺序进行。

  本条基准所指的“循环模式”与广义上的数学过程明确相关。

数学探索:

  数学过程

  数学研究涉及学习模式、进行归纳、抽象思维(包括有时对其他抽象概念进行抽象),以及根据逻辑规则对抽象概念进行处理。数学研究中这些不同方面之间显然存在着千丝万缕的联系。本书第九章“数学世界”(如比率与比例、图形化表达、平均与对比)中有关数学话题的图形之间存在广泛而明晰的联系。另外,《科学素养的基准》相应章节中主题之间还可能存在更多联系,这些联系会在下一版科学素养的导航图》中以图形化的形式加以表述,它们包括数字、测量、推理和形状。

  注 释
  计算与运算路线中的技能基准能支持数学过程的知识基准,但它们对于素养本身也是十分重要的。假如本书中的一般性概念有一定意,这些技能基准就会提供例子说明学生应该可以做哪些事情。此处列出的技能并非全部,例如有关数据和几何的技能就未列出。
  六年级至八年级的基准明显少于其他年级的基准,但所提到的那些基准都是精华,并且具有丰富的含义。例如六年级至八年级的“使用、解释和比较数字……”这条基准可理解为包含复杂运算,但对基本素养而言其含义却简单得多:分辨等效表达并进行换算。
  在表述与抽象路线中,四个有关使用数字和图形来表述“事物”的早期基准为今后理解抽象和归纳奠定了基础。早期的“事物”大多指具体的物体,但最终还是要回归其广义意义,包括要对数学“事物”进行抽象。这些早期基准作为表述与抽象路线的一部分,在数学模型图里十分重要。


与基准相关的研究成果

  关于数学探索,学生对下述几条深信不疑:解决任何数学问题只有一种正确方法、数学问题只有一个正确答案,仅凭一人之力便可解决数学问题,数学问题要么能够迅速解决要么根本不能解决,数学问题及其解决方法并不一定要有意义,正式检验与发现和发明的过程无关(Schoenfeld,1985,1989a,1989b)。这些信条限制了学生的数学行为(Schoenfeld,1985)。学生何时及如何理解数学探索是一种循环过程,还需要进一步的研究加以评价,这一循环过程包括抽象表述观点、处理抽象概念、将结果与原先概念进行检验。我们还必须知道学生在什么年龄能开始用符号或表达式来表述事物,还要知道学生使用什么标准来衡量解决数学问题的方法是有用的或合理的。

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数学探索:

  数学模型

  使用数学为物体、事件和关系制作模型,并理解这些模型产生的力量及存在的不足来说明和预测问题对于数学探索至关重要。学生对数学模型的理解涉及抽象化地表达事物、逻辑处理表达、解释结果、判断模型是否恰当等,并将这些基准整理成不同的路线。

  许多能够促成理解数学模型的基准来自《面向全体美国人的科学》和《科学素养的基准》第十一章“通用概念”和关于数学话题的
第九章“数学世界”里对模型更为广义的看法。此外,第十章“历史展望”中“‘地球中心论’的覆灭”和“天地合一”两节为如何使
用数学模型提供了例证。有关数学模型的基准将会在下一版《科学素养的导航图》中进行讨论。它们包括测量、形状和估算。

  注 释
  六年级至八年级的“使用数学解决一个难题需要…… ”这条基准是该图的中心点。它整合了每条标志路线中的大量早期基准,并引导了几乎所有九年级至十二年级的基准。
  数学模型的过程是从一条九年级至十二年级的基准(在图的右侧)中总结出来的。但正如该基准所言,每一步前后并无固有顺序。实际上数学模型中时常有许多重复工作,在不同步骤之间反复。这条基准在数学过程图中也出现了,因为它也关系数学工作中更为广义的一些概念。
  “解释结果”这条路线包含了判断数学运算结果有效性的一些技能基准,并以此作为例证说明学生应掌握哪些技能。当然《科学素养的基准》第十二章“思维习惯”里的更多技能可以丰富学生对数学模型的理解,还有很多工具可用来说明概念和技能间息息相关的联系。


与基准相关的研究成果

  模型是现实世界的有形复制品而不是概念化的表述,这是初中生和高中生的典型想法(Grosslight, et al.,1991)。他们缺乏这一理念:模型的有用性可对比模型的含义和对现实的观察来进行检验。学生知道模型是可以改变的,但改变一个模型对他们而言意味着增加信息(尤其对高中生而言)或替换错误部分(尤其对初中生而言)。

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